ISopromat.ru
Задача
Кривошип ОА, вращаясь вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку О, приводит в движение колесо II, которое катится без скольжения по неподвижному колесу I.
Найти скорость и ускорение точки В колеса II, для момента времени, когда угол α=45°,
если R=20 см, r=20 см, ωOA=4 с -1 , εOA=2 с -2 (рис. 2.10).
Решение
Колесо II движется в плоскости чертежа, т.е. совершает плоскопараллельное движение.
По условию, колесо I неподвижно, значит, точка соприкосновения колес является МЦС для колеса II. Обозначим ее как CV (эта точка не принадлежит кривошипу ОА). Скорость точки В определяется выражением
и направлена перпендикулярно отрезку ВСV, в сторону вращения колеса II (рис. 2.11)
Для определения угловой скорости ωII запишем выражение для скорости точки А.
С другой стороны, точка А принадлежит кривошипу ОА. Скорость точки А, принадлежащей кривошипу, определяется выражением
и направлена ⊥ОА в сторону вращения кривошипа ОА. Из этих рассуждений следует:
Найдем скорость точки В, используя теорему о скоростях точек плоской фигуры. Для этого примем точку А за полюс.
Тогда
VB=VA+VBA (векторно).
Величина и направление скорости точки А определяются из условий движения кривошипа ОА.
VA=ωOA×OA
и вектор VA⊥ОА и направлен в сторону вращения кривошипа (рис. 2.12).
Скорость VBA — это скорость точки В во вращательном движении вокруг полюса А.
Величина скорости
VBA=ωII×r=12×20=240 см/с
и этот вектор направлен ⊥ отрезку АВ в сторону вращения колеса II.
Чтобы сложить VA и VBA, перенесем вектор VA в конец вектора VBA. Соединяя начало вектора VBA с концом вектора VA, получим вектор VB. Из построения:
Согласно теореме об ускорении точки плоской фигуры, ускорение точки В можно определить из выражения
где aA — ускорение точки А, принятой за полюс;
aBA — ускорение точки В во вращательном движении, вокруг полюса А.
Точка А – принадлежит колесу II и кривошипу ОА, движение которого известно, тогда
Ускорение aBA (ускорение во вращательном движении) состоит из двух слагаемых:
Найдем εII по определению:
Подставляя числовые значения, получим
Ускорение точки В найдем, спроецировав все векторы уравнения
на выбранные оси координат ОХ и OY.
Углы, которые составляют вектор ускорения aB с осями ОХ и OY, определим через направляющие косинусы.